🧠 Logique Débutant

Propositions, Connecteurs Logiques & Tables de Vérité

📝 Qu'est-ce qu'une Proposition ?

Une proposition est un énoncé déclaratif qui peut être soit vrai (V), soit faux (F), mais pas les deux à la fois. C'est le fondement de la logique mathématique.

✅ Exemples de propositions valides :

  • P : "Paris est la capitale de la France" → VRAI
  • Q : "2 + 2 = 5" → FAUX
  • R : "Il pleut aujourd'hui" → VRAI ou FAUX (selon le jour)
  • S : "Tous les chats sont des mammifères" → VRAI

❌ Non-propositions (énoncés non valides) :

  • "Quelle heure est-il ?" → Question, pas de valeur de vérité
  • "Fermez la porte !" → Ordre/impératif
  • "Cette phrase est fausse" → Paradoxe du menteur
  • "x + 3 = 7" → Fonction propositionnelle (dépend de x)

💡 Principe du tiers exclu

En logique classique, toute proposition est soit vraie, soit fausse — il n'y a pas de troisième possibilité (d'où le nom "tiers exclu"). Ce principe est fondamental en mathématiques, mais certains systèmes logiques non classiques (logique floue, logique intuitionniste) le remettent en question.

🔗 Les Connecteurs Logiques

Les connecteurs logiques (ou opérateurs logiques) permettent de combiner des propositions simples pour former des propositions composées. Voici les 5 connecteurs fondamentaux :

¬
NON (Négation)
Inverse la valeur de vérité d'une proposition
¬P

Si P est vrai, ¬P est faux

∧
ET (Conjonction)
Vrai seulement si les deux propositions sont vraies
P ∧ Q

"P et Q"

∨
OU (Disjonction)
Vrai si au moins une proposition est vraie
P ∨ Q

"P ou Q" (inclusif)

→
IMPLIQUE (Implication)
Faux seulement si P est vrai et Q est faux
P → Q

"Si P alors Q"

↔
ÉQUIVALENT (Équivalence)
Vrai si P et Q ont la même valeur de vérité
P ↔ Q

"P si et seulement si Q"

⊕
OU EXCLUSIF (XOR)
Vrai si exactement une proposition est vraie
P ⊕ Q

"Soit P, soit Q" (exclusif)

📊 Tables de Vérité

Une table de vérité énumère toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour des propositions et montre le résultat des opérations logiques.

¬ Table de Vérité : Négation (¬P)

P ¬P
V F
F V

∧ Table de Vérité : Conjonction (P ∧ Q)

P Q P ∧ Q
V V V
V F F
F V F
F F F

∨ Table de Vérité : Disjonction (P ∨ Q)

P Q P ∨ Q
V V V
V F V
F V V
F F F

→ Table de Vérité : Implication (P → Q)

P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V

⚠️ Attention : L'implication "P → Q" est vraie quand P est faux, quelle que soit la valeur de Q. C'est le concept de "vacuité de vérité" (vacuous truth).

↔ Table de Vérité : Équivalence (P ↔ Q)

P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V

⊕ Table de Vérité : OU Exclusif (P ⊕ Q)

P Q P ⊕ Q
V V F
V F V
F V V
F F F

🎯 Exercices Interactifs

1. Soit P = "Il pleut" et Q = "Je prends mon parapluie". Quelle est la valeur de vérité de (P ∧ Q) si P est vrai et Q est faux ?
Vrai
Faux
2. Quelle est la valeur de vérité de (F → V) ?
Vrai
Faux
3. Soit P = "2 + 2 = 4" (vrai) et Q = "Le ciel est vert" (faux). Quelle est la valeur de (P ∨ Q) ?
Vrai
Faux
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