Syllogismes, Raisonnement & Quantificateurs Logiques
Un syllogisme est un raisonnement logique qui comporte deux prémisses (propositions admises comme vraies) et une conclusion qui en découle nécessairement. Inventé par Aristote (384-322 av. J.-C.), c'est le fondement de la logique classique.
| Figure | Prémisse Majeure | Prémisse Mineure | Position du Moyen Terme |
|---|---|---|---|
| 1ère Figure | M → P | S → M | Sujet puis prédicat |
| 2e Figure | P → M | S → M | Prédicat dans les deux |
| 3e Figure | M → P | M → S | Sujet dans les deux |
| 4e Figure | P → M | M → S | Prédicat puis sujet |
Un sophisme est un raisonnement qui semble valide mais contient une erreur logique.
Principe : Du général au particulier. Si les prémisses sont vraies, la conclusion est nécessairement vraie.
Exemple :
• Tous les métaux conduisent l'électricité
• Le cuivre est un métal
• ∴ Le cuivre conduit l'électricité
Usage : Mathématiques, logique formelle, démonstrations
Principe : Du particulier au général. Les prémisses rendent la conclusion probable, mais pas certaine.
Exemple :
• Le soleil s'est levé tous les jours depuis des millénaires
• ∴ Le soleil se lèvera demain
Usage : Sciences expérimentales, statistiques, vie quotidienne
Principe : Inférence à la meilleure explication. On cherche l'hypothèse la plus plausible pour expliquer des observations.
Exemple :
• L'herbe est mouillée ce matin
• ∴ Il a probablement plu cette nuit
(Mais d'autres explications sont possibles : rosée, arrosage...)
Usage : Diagnostic médical, enquêtes policières, recherche scientifique
Principe : On suppose le contraire de ce qu'on veut prouver, et on montre que cela mène à une contradiction.
Exemple (√2 est irrationnel) :
1. Supposons √2 = p/q (rationnel)
2. Alors 2q² = p² → p est pair
3. Donc q doit être impair
4. Mais cela implique que q est aussi pair
∴ Contradiction ! Donc √2 est irrationnel
Usage : Mathématiques pures, logique formelle
Principe : Prouve qu'une propriété est vraie pour tous les entiers en montrant : (1) cas de base, (2) hérédité.
Exemple (1+2+...+n = n(n+1)/2) :
1. Base : Pour n=1, 1 = 1(2)/2 ✓
2. Hérédité : Si vrai pour n, alors pour n+1 :
1+2+...+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2 ✓
Usage : Mathématiques, informatique (algorithmes)
Principe : Si deux objets sont similaires sur certains points, ils le sont probablement sur d'autres.
Exemple :
• La Terre et Mars ont des atmosphères
• La Terre a de l'eau et de la vie
• Mars a de l'eau
∴ Mars pourrait avoir de la vie
Usage : Droit (jurisprudence), philosophie, heuristiques
Les quantificateurs permettent d'exprimer des énoncés sur "tous" ou "certains" éléments d'un ensemble. Ils sont fondamentaux en logique des prédicats.
"Pour tout x, P(x) est vrai"
"Il existe au moins un x tel que P(x) est vrai"
"Pas tous" = "Il existe au moins un contre-exemple"
"Aucun" = "Tous ne vérifient pas"
Énoncé : "Tous les étudiants ont réussi l'examen"
Formule : ∀x (Étudiant(x) → Réussi(x))
Négation : "Il existe au moins un étudiant qui n'a pas réussi"
Formule : ∃x (Étudiant(x) ∧ ¬Réussi(x))
L'ordre des quantificateurs change complètement le sens d'un énoncé :
"Pour tout x, il existe un y plus grand que x"
(Vrai pour les entiers : il y a toujours un nombre plus grand)
"Il existe un y plus grand que tous les x"
(Faux pour les entiers : pas de plus grand nombre)
Les diagrammes de Venn permettent de visualiser les relations entre ensembles et de vérifier la validité des syllogismes.
A ⊂ B : L'ensemble A est entièrement contenu dans l'ensemble B