🎓 Logique Formelle (Calcul des Propositions)
La logique formelle est un système axiomatique permettant de démontrer des théorèmes à partir d'axiomes et de règles d'inférence, sans recourir au sens intuitif des énoncés.
📋 Axiomes de la Logique Propositionnelle
Axiome 1 : Affirmation du Conséquent
P → (Q → P)
"Si P est vrai, alors (si Q alors P)"
Axiome 2 : Distribution
(P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))
Axiome 3 : Contraposition
(¬Q → ¬P) → (P → Q)
⚡ Règles d'Inférence Fondamentales
Modus Ponens (MP)
P → Q
P
______
∴ Q
"Si P implique Q et P est vrai, alors Q est vrai"
Modus Tollens (MT)
P → Q
¬Q
______
∴ ¬P
"Si P implique Q et Q est faux, alors P est faux"
Syllogisme Hypothétique
P → Q
Q → R
______
∴ P → R
"Transitivité de l'implication"
Disjonction Syllogisme
P ∨ Q
¬P
______
∴ Q
"Si P ou Q, et non P, alors Q"
Addition
P
______
∴ P ∨ Q
"Si P est vrai, alors (P ou Q) est vrai"
Simplification
P ∧ Q
______
∴ P
"Si (P et Q) est vrai, alors P est vrai"
🔬 Théorèmes Importants
Loi de De Morgan
¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q)
"La négation d'une conjonction est la disjonction des négations, et vice versa"
Loi d'Exportation
((P ∧ Q) → R) ≡ (P → (Q → R))
Tiers Exclu (Principe du Tiers Exclu)
P ∨ ¬P ≡ Vrai (Tautologie)
"Toute proposition est soit vraie, soit fausse"
Non-Contradiction
¬(P ∧ ¬P) ≡ Vrai (Tautologie)
"Une proposition ne peut pas être vraie et fausse en même temps"
📝 Exemple de Démonstration Formelle
Démontrer : ((P → Q) ∧ (Q → R)) → (P → R)
1. (P → Q) ∧ (Q → R) — Hypothèse
2. P → Q — Simplification de 1
3. Q → R — Simplification de 1
4. P — Hypothèse additionnelle
5. Q — Modus Ponens : 2, 4
6. R — Modus Ponens : 3, 5
∴ P → R — Déduction : 4-6
🌀 Logique Modale
La logique modale étend la logique classique en introduisant les notions de nécessité (□) et de possibilité (◇).
□ Opérateur de Nécessité
□P
"Il est nécessaire que P"
"P est vrai dans tous les mondes possibles"
Exemple : □(2 + 2 = 4)
"Il est nécessairement vrai que 2 + 2 = 4"
◇ Opérateur de Possibilité
◇P
"Il est possible que P"
"P est vrai dans au moins un monde possible"
Exemple : ◇(Il pleut demain)
"Il est possible qu'il pleuve demain"
🔗 Relations entre □ et ◇
◇P ≡ ¬□¬P
"P est possible" = "Il n'est pas nécessaire que P soit faux"
□P ≡ ¬◇¬P
"P est nécessaire" = "Il n'est pas possible que P soit faux"
🎯 Systèmes de Logique Modale
Système K (Kripke)
Système minimal de logique modale
□(P → Q) → (□P → □Q)
Système T
Ajoute l'axiome de réflexivité
□P → P
"Ce qui est nécessaire est vrai"
Système S4
Ajoute la transitivité
□P → □□P
"Ce qui est nécessaire est nécessairement nécessaire"
Système S5
Ajoute l'euclidianité
◇P → □◇P
"Ce qui est possible est nécessairement possible"
🌍 Applications de la Logique Modale
- Logique déontique : Obligations et permissions (□ = "Il est obligatoire que", ◇ = "Il est permis que")
- Logique épistémique : Connaissance et croyance (□ = "Je sais que", ◇ = "Il est possible que je sache")
- Logique temporelle : Passé, présent, futur (□ = "Il sera toujours vrai que", ◇ = "Il sera vrai à un moment que")
- Métaphysique : Essence vs accident, nécessité causale
- Informatique : Vérification de programmes, systèmes distribués
🌀 Paradoxes Logiques Célèbres
Un paradoxe est un raisonnement apparemment valide qui aboutit à une conclusion contradictoire ou absurde. Les paradoxes révèlent les limites de nos systèmes logiques.
🗣️ Paradoxe du Menteur (Épiménide, 6e s. av. J.-C.)
"Cette phrase est fausse"
Analyse :
- Si la phrase est vraie, alors son contenu est vrai, donc elle est fausse
- Si la phrase est fausse, alors son contenu est faux, donc elle est vraie
- Contradiction ! La phrase ne peut être ni vraie ni fausse
Solution : Hiérarchie des langages (Tarski) : une phrase ne peut parler d'elle-même
💈 Paradoxe du Barbier (Bertrand Russell, 1901)
"Dans un village, le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là."
Qui rase le barbier ?
Analyse :
- Si le barbier se rase lui-même, alors il appartient à l'ensemble des hommes qui se rasent eux-mêmes, donc il ne doit pas se raser
- Si le barbier ne se rase pas lui-même, alors il appartient à l'ensemble des hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, donc il doit se raser
Solution : Un tel barbier ne peut pas exister (contradiction logique)
📚 Paradoxe de Russell (Théorie des Ensembles, 1901)
R = {x | x ∉ x}
"R est l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes"
Question : R ∈ R ?
- Si R ∈ R, alors R se contient lui-même, donc R ∉ R par définition
- Si R ∉ R, alors R ne se contient pas, donc R ∈ R par définition
Impact : A conduit à la création de la théorie axiomatique des ensembles (ZFC)
🐢 Paradoxes de Zénon d'Élée (5e s. av. J.-C.)
Achille et la Tortue :
Achille court 10 fois plus vite qu'une tortue qui a 100m d'avance. Pour rattraper la tortue :
- Achille doit d'abord parcourir 100m → la tortue avance de 10m
- Achille parcourt ces 10m → la tortue avance de 1m
- Achille parcourt ce 1m → la tortue avance de 0,1m
- Et ainsi de suite à l'infini...
Conclusion : Achille ne rattrapera jamais la tortue !
Solution : Série géométrique convergente : 100 + 10 + 1 + 0,1 + ... = 111,11m (calcul infinitésimal)
🎭 Paradoxe de l'Examen Surprise
Un professeur annonce : "Vous aurez un examen surprise la semaine prochaine"
Raisonnement de l'élève :
- L'examen ne peut pas être vendredi (dernier jour), sinon ce ne serait pas une surprise
- Donc l'examen est entre lundi et jeudi
- Mais alors, il ne peut pas être jeudi non plus (ce serait le dernier jour restant)
- Par le même raisonnement : pas mercredi, pas mardi, pas lundi
- Conclusion : L'examen surprise est impossible !
Paradoxe : Pourtant, si le professeur fait l'examen mercredi, ce sera bien une surprise pour l'élève !
🌓 Paradoxe Sorite (Paradoxe du Tas)
1 grain de sable ne fait pas un tas
Ajouter 1 grain à un non-tas ne fait pas un tas
∴ 1 000 000 de grains ne font pas un tas
Problème : Prédicats vagues ("tas", "chauve", "grand") défient la logique binaire